Matemática discreta Ejemplos

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Paso 3

Resuelve $b$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resta $\frac{27}{64}$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{27}{64}$ como ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = b$ y $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Combina $b$ y $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $3$ por $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Paso 3.2.3.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Paso 3.2.3.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Paso 3.4

Establece $b - \frac{3}{4}$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $b - \frac{3}{4}$ igual a $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Paso 3.4.2

Suma $\frac{3}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$b = \frac{3}{4}$

Paso 3.5

Establece $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ igual a $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ en $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Multiplica por el mínimo común denominador $16$ , luego simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.3

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Paso 3.5.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.3

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 12$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.3

Resta $576$ de $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.4

Reescribe $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.7

Reescribe $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.9

Mueve $12$ a la izquierda de $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 3.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 3.5.2.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ verdadera.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$